5. (1 балл) Решите графически уравнение x³ = 3x + 2.

Решение:

Чтобы решить уравнение графически, нужно построить графики функций \( y = x^3 \) и \( y = 3x + 2 \) и найти точки их пересечения. Абсциссы этих точек будут решениями уравнения.

1. Построим график функции \( y = x^3 \):

• Это кубическая парабола. Возьмем несколько точек: \( (-2, -8), (-1, -1), (0, 0), (1, 1), (2, 8) \).

2. Построим график функции \( y = 3x + 2 \):

• Это прямая линия. Возьмем две точки:
• Если \( x = 0 \), то \( y = 3(0) + 2 = 2 \). Точка \( (0, 2) \).
• Если \( x = -1 \), то \( y = 3(-1) + 2 = -3 + 2 = -1 \). Точка \( (-1, -1) \).
• Если \( x = 1 \), то \( y = 3(1) + 2 = 5 \). Точка \( (1, 5) \).

3. Найдем точки пересечения графиков:

Визуально или путем подбора значений видно, что графики пересекаются в трёх точках:

• Одна точка пересечения находится между \( x = -2 \) и \( x = -1 \). Точное значение \( x \) можно найти, решив уравнение \( x^3 - 3x - 2 = 0 \). Это \( x = -1 \) (одна из точек, найденных для прямой) и \( x = -2 \) (проверим: \( (-2)^3 = -8 \), \( 3(-2) + 2 = -6 + 2 = -4 \) — здесь не совпадает, значит, корни не целые в этом диапазоне, кроме \( x = -1 \)).
• Вторая точка пересечения — \( x = -1 \). Проверим: \( (-1)^3 = -1 \) и \( 3(-1) + 2 = -3 + 2 = -1 \). Точка \( (-1, -1) \) является решением.
• Третья точка пересечения находится между \( x = 1 \) и \( x = 2 \).

Для более точного определения корней, можно решить кубическое уравнение \( x^3 - 3x - 2 = 0 \). По схеме Горнера или подбором находим, что \( x = -1 \) является корнем. Разделив \( x^3 - 3x - 2 \) на \( (x+1) \), получим \( x^2 - x - 2 \). Корни \( x^2 - x - 2 = 0 \) находятся по дискриминанту: \( D = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \). \( x = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \). \( x_2 = \frac{1+3}{2} = 2 \) и \( x_3 = \frac{1-3}{2} = -1 \). Таким образом, корни \( x = -1 \) (кратный корень) и \( x = 2 \).

Проверим \( x=2 \): \( 2^3 = 8 \), \( 3(2) + 2 = 6 + 2 = 8 \). Точка \( (2, 8) \) является решением.

Проверим \( x=-1 \): \( (-1)^3 = -1 \), \( 3(-1) + 2 = -3 + 2 = -1 \). Точка \( (-1, -1) \) является решением.

Проверим \( x=-2 \) (это было предположение, что он является корнем, но мы нашли, что это не так). Корни уравнения \( x^3 - 3x - 2 = 0 \) это \( x=-1 \) (дважды) и \( x=2 \). Один из корней \( x = -1 \) также является корнем для \( y = 3x + 2 \) и \( y = x^3 \).

График

На графике видно, что точки пересечения приходятся на \( x = -1 \) и \( x = 2 \).

Ответ: x = -1, x = 2