6. (3 балла) Разложите многочлен на множители: 1) b² - 5b + 4; 2) xy - x²y² + x³y³ - a + axy - ax²y²; 3) xⁿ⁺² - 1 - x + xⁿ⁺¹, где n — натуральное число.

Решение:

1. Разложим многочлен b² - 5b + 4 на множители:

1. Это квадратный трёхчлен. Можно разложить его, найдя корни соответствующего уравнения \( b^2 - 5b + 4 = 0 \).
2. Дискриминант: \( D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 \).
3. Корни: \( b_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2} = \frac{5 + 3}{2} = 4 \) и \( b_2 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2} = \frac{5 - 3}{2} = 1 \).
4. Многочлен раскладывается как \( a(b - b_1)(b - b_2) \), где \( a = 1 \).
5. Таким образом, \( b^2 - 5b + 4 = (b - 4)(b - 1) \).

2. Разложим многочлен xy - x²y² + x³y³ - a + axy - ax²y² на множители:

1. Сначала сгруппируем члены: \( (xy - x^2y^2 + x^3y^3) - (a - axy + ax^2y^2) \).
2. Вынесем общие множители из каждой группы: \( xy(1 - xy + x^2y^2) - a(1 - xy + x^2y^2) \).
3. Вынесем общий множитель \( (1 - xy + x^2y^2) \): \( (1 - xy + x^2y^2)(xy - a) \).

3. Разложим многочлен xⁿ⁺² - 1 - x + xⁿ⁺¹ на множители, где n — натуральное число:

1. Перепишем члены, чтобы было удобнее группировать: \( x^{n+2} + x^{n+1} - x - 1 \).
2. Сгруппируем первые два члена и последние два члена: \( (x^{n+2} + x^{n+1}) - (x + 1) \).
3. Вынесем общий множитель \( x^{n+1} \) из первой группы: \( x^{n+1}(x + 1) - (x + 1) \).
4. Вынесем общий множитель \( (x + 1) \): \( (x + 1)(x^{n+1} - 1) \).

Ответ: 1) (b - 4)(b - 1); 2) (1 - xy + x²y²)(xy - a); 3) (x + 1)(xⁿ⁺¹ - 1)