5. (1 балл) Решите уравнение: (1/2)⁷⁺¹ = (1/8)⁷⁻¹

Решение:

Приведём обе части уравнения к одному основанию. Основание \( 1/8 \) можно представить как \( (1/2)^3 \).

\[ \left(\frac{1}{2}\right)^{x+1} = \left(\frac{1}{8}\right)^{x-1} \]

Заменим \( 1/8 \) на \( (1/2)^3 \):

\[ \left(\frac{1}{2}\right)^{x+1} = \left(\left(\frac{1}{2}\right)^3\right)^{x-1} \]

Используя свойство степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \):

\[ \left(\frac{1}{2}\right)^{x+1} = \left(\frac{1}{2}\right)^{3(x-1)} \]

Теперь, когда основания равны, приравняем показатели степеней:

\[ x+1 = 3(x-1) \]

Раскроем скобки:

\[ x+1 = 3x - 3 \]

Перенесём члены с \( x \) в одну сторону, а числа — в другую:

\[ 1 + 3 = 3x - x \]

\( 4 = 2x \)

Разделим обе части на 2:

\[ x = \frac{4}{2} \]

\( x = 2 \)

Ответ: x = 2