5. ∫(1/x^7 - sin^2 x) dx;

Решение:

1. Разбиение интеграла:\[ \int \left( \frac{1}{x^7} - \sin^2(x) \right) dx = \int x^{-7} dx - \int \sin^2(x) dx \]
2. Интегрирование первого члена:\[ \int x^{-7} dx = \frac{x^{-7+1}}{-7+1} + C_1 = \frac{x^{-6}}{-6} + C_1 = -\frac{1}{6x^6} + C_1 \]
3. Интегрирование второго члена (используя формулу понижения степени):\[ \int \sin^2(x) dx = \int \frac{1 - \cos(2x)}{2} dx = \frac{1}{2} \int (1 - \cos(2x)) dx = \frac{1}{2} \left( x - \frac{\sin(2x)}{2} \right) + C_2 \]
4. Объединение результатов:\[ -\frac{1}{6x^6} - \frac{1}{2} \left( x - \frac{\sin(2x)}{2} \right) + C \]
5. Упрощение:\[ -\frac{1}{6x^6} - \frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + C \]

Ответ: -\frac{1}{6x^6} - \frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + C