5.15. \(2\cos^2 x+\sin x+1=0\);

Используем тождество \(\cos^2 x=1-\sin^2 x\):

\(2(1-\sin^2 x)+\sin x+1=0\), откуда \(2\sin^2 x-\sin x-3=0\).

Разложим: \((2\sin x-3)(\sin x+1)=0\). Получаем \(\sin x=\frac{3}{2}\) или \(\sin x=-1\). Первое значение невозможно, поскольку \(|\sin x|\le 1\). Значит, \(\sin x=-1\).

Ответ: \(x=\frac{3\pi}{2}+2\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).