5. 2,25^{1/7} \(\cdot\) 4^{2/7} \(\cdot\) 36^{6/7} =

Решение:

Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную и используем свойство степеней \( a^n \cdot b^n \cdot c^n = (a \cdot b \cdot c)^n \).

\( 2,25 = \frac{225}{100} = \frac{9}{4} \)

\( (\frac{9}{4})^{\frac{1}{7}} \cdot 4^{\frac{2}{7}} \cdot 36^{\frac{6}{7}} \)

Чтобы применить свойство, нужно привести степени к одному показателю. Здесь это сложно, поэтому рассмотрим другой подход:

\( 2,25^{\frac{1}{7}} \cdot 4^{\frac{2}{7}} \cdot 36^{\frac{6}{7}} = (\frac{9}{4})^{\frac{1}{7}} \cdot (2^2)^{\frac{2}{7}} \cdot (6^2)^{\frac{6}{7}} = (\frac{3^2}{2^2})^{\frac{1}{7}} \cdot 2^{\frac{4}{7}} \cdot 6^{\frac{12}{7}} \)

Это выражение выглядит некорректно для простого решения. Возможно, в условии опечатка в показателях степени. Предположим, что все показатели степени равны \( \frac{1}{7} \).

Если бы было \( 2,25^{\frac{1}{7}} \cdot 4^{\frac{1}{7}} \cdot 36^{\frac{1}{7}} \), то:

\( (2,25 \cdot 4 \cdot 36)^{\frac{1}{7}} = (9 \cdot 36)^{\frac{1}{7}} = (324)^{\frac{1}{7}} \). Это не упрощается.

Рассмотрим другой вариант: если показатели степени — \( \frac{1}{2} \) для \( 2,25 \), \( \frac{1}{2} \) для \( 4 \) и \( \frac{1}{2} \) для \( 36 \).

\( 2,25^{\frac{1}{2}} \cdot 4^{\frac{1}{2}} \cdot 36^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2,25} \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{36} = 1,5 \cdot 2 \cdot 6 = 3 \cdot 6 = 18 \)

Если предположить, что в задании была опечатка и должно быть:

\( 2,25^{\frac{1}{7}} \cdot 4^{\frac{1}{7}} \cdot 36^{\frac{1}{7}} = (\frac{9}{4} \cdot 4 \cdot 36)^{\frac{1}{7}} = (9 \cdot 36)^{\frac{1}{7}} = 324^{\frac{1}{7}} \). Это не упрощается.

Если показатель \( \frac{6}{7} \) относится ко всему выражению:

\( (2,25 \cdot 4 \cdot 36)^{\frac{6}{7}} = (9 \cdot 36)^{\frac{6}{7}} = 324^{\frac{6}{7}} \). Это не упрощается.

Учитывая стандартные задачи такого типа, скорее всего, показатели степени должны быть одинаковыми. Предположим, что все показатели равны \( \frac{1}{2} \) или \( \frac{1}{7} \) для первого множителя, \( \frac{1}{7} \) для второго и \( \frac{1}{7} \) для третьего.

Если задача корректна, решение будет громоздким.

Возможно, имелось в виду: \( 2.25^{1/2} \cdot 4^{1/2} \cdot 36^{1/2} = \sqrt{2.25} \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{36} = 1.5 \cdot 2 \cdot 6 = 18 \)

Если задача такая, как написана:

\( (\frac{9}{4})^{\frac{1}{7}} \cdot 4^{\frac{2}{7}} \cdot 36^{\frac{6}{7}} = \frac{3^{\frac{2}{7}}}{2^{\frac{2}{7}}} \cdot 2^{\frac{4}{7}} \cdot (6^2)^{\frac{6}{7}} = \frac{3^{\frac{2}{7}}}{2^{\frac{2}{7}}} \cdot 2^{\frac{4}{7}} \cdot 6^{\frac{12}{7}} = \frac{3^{\frac{2}{7}} \cdot 2^{\frac{4}{7}} \cdot (2 \cdot 3)^{\frac{12}{7}}}{2^{\frac{2}{7}}} = \frac{3^{\frac{2}{7}} \cdot 2^{\frac{4}{7}} \cdot 2^{\frac{12}{7}} \cdot 3^{\frac{12}{7}}}{2^{\frac{2}{7}}} = 3^{\frac{2}{7} + \frac{12}{7}} \cdot 2^{\frac{4}{7} - \frac{2}{7} + \frac{12}{7}} = 3^{\frac{14}{7}} \cdot 2^{\frac{14}{7}} = 3^2 \cdot 2^2 = 9 \cdot 4 = 36 \)

Ответ: 36.