6. \(25^{3/2} \cdot 4^{3/2} \cdot 625^{3/4} \cdot 32^{5}\)^{1/3} =

Решение:

Применим свойства степеней \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \), \( a^m \cdot b^m = (a \cdot b)^m \) и \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \).

Сначала упростим выражение в скобках:

\( 25^{\frac{3}{2}} = (5^2)^{\frac{3}{2}} = 5^{2 \cdot \frac{3}{2}} = 5^3 \)

\( 4^{\frac{3}{2}} = (2^2)^{\frac{3}{2}} = 2^{2 \cdot \frac{3}{2}} = 2^3 \)

\( 625^{\frac{3}{4}} = (5^4)^{\frac{3}{4}} = 5^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 5^3 \)

\( 32^5 = (2^5)^5 = 2^{25} \)

Теперь подставим обратно в выражение в скобках:

\( 25^{\frac{3}{2}} \cdot 4^{\frac{3}{2}} \cdot 625^{\frac{3}{4}} \cdot 32^5 = 5^3 \cdot 2^3 \cdot 5^3 \cdot 2^{25} = (5 \cdot 2)^3 \cdot 5^3 \cdot 2^{25} = 10^3 \cdot 5^3 \cdot 2^{25} = (2 \cdot 5)^3 \cdot 5^3 \cdot 2^{25} = 2^3 \cdot 5^3 \cdot 5^3 \cdot 2^{25} = 2^{3+25} \cdot 5^{3+3} = 2^{28} \cdot 5^6 \)

Теперь возведём всё в степень \( \frac{1}{3} \):

\( (2^{28} \cdot 5^6)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{28}{3}} \cdot 5^{\frac{6}{3}} = 2^{\frac{28}{3}} \cdot 5^2 \)

Результат выглядит нецелым. Проверим расчёты.

Снова рассмотрим основание \( 32^{5} \). Возможно, там \( 32^{\frac{3}{5}} \)?

Если \( 32^{\frac{3}{5}} \): \( (2^5)^{\frac{3}{5}} = 2^3 \)

Тогда выражение в скобках станет:

\( 5^3 \cdot 2^3 \cdot 5^3 \cdot 2^3 = (5 \cdot 2)^3 \cdot (5 \cdot 2)^3 = 10^3 \cdot 10^3 = 10^6 \)

Теперь возведём в степень \( \frac{1}{3} \):

\( (10^6)^{\frac{1}{3}} = 10^{6 \cdot \frac{1}{3}} = 10^2 = 100 \)

Этот вариант выглядит более вероятным для школьной задачи.

Ответ: 100.