5.25. Постройте на одном и том же чертеже графики функций \(y=x^2\), \(y=x^{1/2}\), \(y=x^{2/3}\), \(y=x^{3/2}\). Укажите сходство и различие графиков этих функций.

Для построения удобно отметить общие точки и учитывать области определения: \(y=x^2\) и \(y=x^{2/3}\) определены при всех действительных \(x\); \(y=\sqrt{x}\) и \(y=x^{3/2}\) — при \(x\ge0\). Все четыре графика проходят через точки \((0;0)\) и \((1;1)\).

Сходство: графики проходят через \((0;0)\) и \((1;1)\); при \(x\ge0\) все четыре функции неотрицательны и возрастают. Функции \(x^2\) и \(x^{2/3}\) чётные, поэтому их графики симметричны относительно оси \(Oy\). Различие: у \(x^2\) и \(\sqrt{x}\) область определения соответственно \(\mathbb R\) и \([0;+\infty)\); у \(x^{2/3}\) область определения \(\mathbb R\), а у \(x^{3/2}\) — \([0;+\infty)\). График \(x^{2/3}\) симметричен относительно \(Oy\) и имеет острие в начале координат; график \(x^2\) — парабола. Графики \(\sqrt{x}\) и \(x^{3/2}\) расположены только в правой полуплоскости.