5. (36) Высота BM, проведённая из вершины угла ромба ABCD, образует со стороной AB угол 30°, длина диагонали AC равна 6 см. Найдите AM, если точка M лежит на продолжении стороны AD.

Так как BM — высота к прямой AD, то \(BM \perp AD\). Угол между AB и BM равен 30°, поэтому острый угол между AB и прямой AD равен 60°. Поскольку M лежит на продолжении AD, а высота падает за точку A, внутренний угол ромба при A равен \(120°\).

В ромбе диагональ AC, проведённая из вершины угла \(120°\), делит этот угол пополам. Поэтому \(\angle BAC = 60°\), а треугольник ABC равнобедренный со сторонами AB = BC. Из теоремы косинусов для диагонали AC либо из формулы диагонали ромба получаем \(AC = AB\), следовательно, AB = 6 см.

В прямоугольном треугольнике ABM угол ABM равен 30°, а AB — гипотенуза. Против угла 30° лежит половина гипотенузы, поэтому \(AM = AB / 2 = 3\) см.

Ответ: 3 см.