5.45. Даны три точки в пространстве A(1; −2; 4), B(3; 4; −2) и C(0; −6; 2). Найдите: 1) координаты середины отрезка AC; 2) координаты векторов BC и BC − BA; 3) координаты точки D такой, что ABCD — параллелограмм; 4) расстояние от точки A до точки D.

1. Координаты середины отрезка AC:

   Складываем соответствующие координаты концов и делим на 2:

   \(M\left(\frac{1+0}{2};\frac{-2+(-6)}{2};\frac{4+2}{2}\right)=\left(\frac12;-4;3\right)\).

2. Координаты векторов BC и BC − BA:

   \(\overrightarrow{BC}=C-B=(0-3;-6-4;2-(-2))=(-3;-10;4)\).

   \(\overrightarrow{BA}=A-B=(1-3;-2-4;4-(-2))=(-2;-6;6)\).

   Тогда \(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}=(-3;-10;4)-(-2;-6;6)=(-1;-4;-2)\).

3. Координаты точки D:

   В параллелограмме ABCD диагонали имеют общую середину, поэтому \(A+C=B+D\), откуда \(D=A+C-B\).

   \(D=(1+0-3;-2-6-4;4+2-(-2))=(-2;-12;8)\).

4. Расстояние от A до D:

   \(AD=\sqrt{(-2-1)^2+(-12-(-2))^2+(8-4)^2}=\sqrt{9+100+16}=\sqrt{125}=5\sqrt5\).

Ответ: 1) \(M\left(\frac12;-4;3\right)\); 2) \(\overrightarrow{BC}=(-3;-10;4)\), \(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}=(-1;-4;-2)\); 3) \(D(-2;-12;8)\); 4) \(AD=5\sqrt5\).