5.46. Даны три точки в пространстве A(1; −2; 4), B(3; 4; −2) и C(0; −6; 2). Найдите: 1) координаты точки, делящей отрезок AC в отношении 1:2; 2) координаты векторов 2BC и 3BC − 2BA; 3) на прямой AC координаты такой точки D, чтобы треугольник ABD был прямоугольный; 4) расстояние от точки A до прямой BC.

1. Точка делит AC в отношении \(1:2\), то есть \(AM:MC=1:2\). По формуле деления отрезка \(M=\frac{2A+C}{3}\):

   \(M=\left(\frac{2+0}{3};\frac{-4-6}{3};\frac{8+2}{3}\right)=\left(\frac23;-\frac{10}{3};\frac{10}{3}\right)\).

2. Сначала находим \(\overrightarrow{BC}=(-3;-10;4)\) и \(\overrightarrow{BA}=(-2;-6;6)\). Тогда

   \(2\overrightarrow{BC}=(-6;-20;8)\).

   \(3\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{BA}=(-9;-30;12)-(-4;-12;12)=(-5;-18;0)\).

3. Пусть \(D=A+t(C-A)=(1-t;-2-4t;4-2t)\). Чтобы \(ABD\) был прямоугольным при A, требуется \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=0\). Здесь \(\overrightarrow{AB}=(2;6;-6)\), а \(\overrightarrow{AD}=t(-1;-4;-2)\), поэтому

   \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=t(-2-24+12)=-14t=0\), откуда \(t=0\) и \(D=A\).

   Это вырожденный случай, не образующий треугольника. Для невырожденного прямоугольного треугольника D должна быть на прямой AC, а прямой угол возможен лишь при A или B; поскольку B не лежит на AC и A совпадает с D, такой точки D нет.

4. Расстояние от A до прямой BC:

   \(\overrightarrow{BA}=(-2;-6;6)\), \(\overrightarrow{BC}=(-3;-10;4)\). Квадрат расстояния от A до прямой BC равен \(|\overrightarrow{BA}|^2-\frac{(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC})^2}{|\overrightarrow{BC}|^2}\).

   \(|\overrightarrow{BA}|^2=76\), \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=90\), \(|\overrightarrow{BC}|^2=125\). Следовательно, \(d^2=76-\frac{8100}{125}=\frac{112}{5}\), поэтому \(d=\frac{4\sqrt{35}}5\).

Ответ: 1) \(\left(\frac23;-\frac{10}{3};\frac{10}{3}\right)\); 2) \((-6;-20;8)\) и \((-5;-18;0)\); 3) невырожденного прямоугольного треугольника с D на прямой AC не существует; 4) \(\frac{4\sqrt{35}}5\).