5.51. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 1. Точки K, L и M — середины рёбер A₁B₁, CC₁ и BC. Найдите: 1) стороны и углы треугольника KLM; 2) угол между прямыми AM и DC₁; 3) проекцию вектора AC на направление вектора KL.

Зададим координаты вершин куба: A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(1; 1; 0), D(0; 1; 0), A₁(0; 0; 1), C₁(1; 1; 1). Тогда K(1/2; 0; 1), L(1; 1; 1/2), M(1; 1/2; 0).

1) По формуле расстояния получаем \(|KL|=|KM|=\frac{\sqrt6}{2}\), \(|LM|=\frac{\sqrt2}{2}\). Угол при L и угол при K равны, поскольку треугольник равнобедренный. По теореме косинусов \(\cos\angle KLM=\frac{1}{2\sqrt3}\), поэтому \(\angle KLM=\angle LKM=\arccos\frac{1}{2\sqrt3}\), а \(\angle KML=\arccos\frac23\).

2) Направляющие векторы прямых: \(\overrightarrow{AM}=(1;\frac12;0)\), \(\overrightarrow{DC₁}=(1;0;1)\). Их скалярное произведение равно 1, а длины — \(\frac{\sqrt5}{2}\) и \(\sqrt2\). Поэтому косинус угла между прямыми равен \(\frac{2}{\sqrt{10}}\).

3) \(\overrightarrow{AC}=(1;1;0)\), \(\overrightarrow{KL}=(\frac12;1;−\frac12)\). Скалярная проекция первого вектора на направление второго равна \(\frac{\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{KL}}{|KL|}=\frac{3}{\sqrt6}=\frac{\sqrt6}{2}\).

Ответ: 1) \(KL=KM=\frac{\sqrt6}{2}\), \(LM=\frac{\sqrt2}{2}\); \(\angle KLM=\angle LKM=\arccos\frac{1}{2\sqrt3}\), \(\angle KML=\arccos\frac23\). 2) \(\arccos\frac{2}{\sqrt{10}}\). 3) \(\frac{\sqrt6}{2}\).