5.52. Дан правильный тетраэдр ABCD с ребром 1 и основанием ABC. Точки K, L и M — центры вписанных окружностей боковых граней. Найдите: 1) стороны и углы треугольника KLM.

Боковые грани — равносторонние треугольники со стороной 1. Центр вписанной окружности каждой такой грани совпадает с её центром тяжести. Выберем координаты основания: \(A=(0;0;0)\), \(B=(1;0;0)\), \(C=(\frac12;\frac{\sqrt3}{2};0)\), \(D=(\frac12;\frac{\sqrt3}{6};\sqrt{\frac23})\). Тогда центры граней ABD, BCD и CAD — соответственно K, L и M.

Например, \(K=(A+B+D)/3\), \(L=(B+C+D)/3\), \(M=(C+A+D)/3\). Разности этих координат дают \(|KL|=|LM|=|MK|=\frac13\). Следовательно, KLM — равносторонний треугольник.

Ответ: \(KL=LM=MK=\frac13\); все углы треугольника равны 60°.