5.55. Даны три точки A(1; 2; 0), B(2; 3; 0), C(3; 4; 7). Напишите уравнения: 1) прямой, параллельной AB, проходящей через точку C; 2) прямой, проходящей через точку B параллельно оси Ox; 3) плоскости, содержащей точку C и параллельной плоскости ABO, где O — начало координат.

Направляющий вектор AB равен \((1,1,0)\). Через C(3; 4; 7) проходит прямая \(x=3+t,\ y=4+t,\ z=7\).

Прямая через B, параллельная Ox, имеет постоянные y и z: \(y=3,\ z=0\).

Плоскость ABO проходит через O, A и B; все эти точки удовлетворяют \(x-y=-1\), то есть её уравнение \(x-y+1=0\). Параллельная ей плоскость через C имеет тот же нормальный вектор. Подстановка C даёт \(x-y+1=0\) в точке C не выполняется? Для C разность x−y = −1, следовательно подходит то же уравнение.

Ответ: 1) \(x=3+t,\ y=4+t,\ z=7\); 2) \(y=3,\ z=0\); 3) \(x-y+1=0\).