5) $7\left(x+\dfrac1x\right)-2\left(x^2+\dfrac1{x^2}\right)=9$

Question

Вопрос: $Фото задания: 5) $7\left(x+\dfrac1x\right)-2\left(x^2+\dfrac1{x^2}\right)=9$$ Фото задания

Accepted Answer

ОДЗ: $x\ne0$. Обозначим $t=x+\dfrac1x$. Тогда $x^2+\dfrac1{x^2}=t^2-2$.

Подставим в уравнение: $7t-2(t^2-2)=9$, откуда $2t^2-7t+5=0$. Корни: $t=1$ и $t=\dfrac52$.

Для действительных $x\ne0$ значение $x+\dfrac1x$ не может лежать между $-2$ и $2$, поэтому $t=1$ не подходит.

При $t=\dfrac52$: $x+\dfrac1x=\dfrac52$, то есть $2x^2-5x+2=0$. Отсюда $x=2$ или $x=\dfrac12$.

Ответ: $x=2,\;\dfrac12$.

5) \(7\left(x+\dfrac1x\right)-2\left(x^2+\dfrac1{x^2}\right)=9\)