5) $7\left(x+\frac{1}{x}\right)-2\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)=9$

Question

Вопрос: $Фото задания: 5) $7\left(x+\frac{1}{x}\right)-2\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)=9$$ Фото задания

Accepted Answer

ОДЗ: $x\ne 0$. Обозначим $t=x+\frac1x$. Тогда $x^2+\frac1{x^2}=t^2-2$.

Подставим это равенство в исходное уравнение:

$7t-2(t^2-2)=9$, то есть $2t^2-7t+5=0$.

Разложение на множители: $(2t-5)(t-1)=0$. Значит, $t=\frac52$ или $t=1$.

При $t=\frac52$: $x+\frac1x=\frac52$, откуда $2x^2-5x+2=0$ и $x=2$ или $x=\frac12$.

При $t=1$: $x^2-x+1=0$. Его дискриминант отрицателен, поэтому действительных корней нет.

Ответ: $x=2;\ \frac12$.

5) \(7\left(x+\frac{1}{x}\right)-2\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)=9\)