5.7. Определите расстояние от центра Земли до висящего спутника связи, который всё время находится в одной и той же точке плоскости экватора над земной поверхностью. Радиус Земли R = 6400 км, время суточного вращения Земли T = 24 часа.

Спутник, неподвижный относительно поверхности Земли над экватором, совершает один оборот за период вращения Земли. Используем закон тяготения, приравняв гравитационное и центростремительное ускорения.

1. На поверхности Земли g = GM/R², поэтому GM = gR².
2. Для спутника на расстоянии r от центра Земли: GM/r² = 4π²r/T². Отсюда r = (gR²T²/(4π²))^(1/3).
3. Подставим R = 6.4·10⁶ м, T = 86400 с и стандартное значение g ≈ 9.8 м/с²:
   \[r=\sqrt[3]{\frac{9.8(6.4\cdot10^6)^2(86400)^2}{4\pi^2}}\approx4.23\cdot10^7\text{ м}.\]

Это расстояние измеряется от центра Земли; оно соответствует высоте примерно 35 900 км над поверхностью.

Ответ: расстояние от центра Земли до спутника примерно 42 300 км.