5. а) A(1;2), B(-3;0), C(4;-2) нүктелері берілген. \(\overrightarrow{AB}\) және \(\overrightarrow{AC}\) векторларының арасындағы бұрышты табыңдар. б) x-тің қандай мәнінде \(\vec a=(x;-2)\), \(\vec b=(-1;4)\) векторлары коллинеар болады?

а) Векторлардың координаталарын табамыз: \(\overrightarrow{AB}=(-3-1;0-2)=(-4;-2)\), \(\overrightarrow{AC}=(4-1;-2-2)=(3;-4)\).

Скаляр көбейтіндісі: \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=(-4)\cdot3+(-2)\cdot(-4)=-4\). Ұзындықтары: \(\lvert\overrightarrow{AB}\rvert=\sqrt{20}\), \(\lvert\overrightarrow{AC}\rvert=5\).

Сонда \(\cos\varphi=\frac{-4}{5\sqrt{20}}=-\frac{2}{5\sqrt5}\), демек \(\varphi=\arccos\left(-\frac{2}{5\sqrt5}\right)\approx100.3^\circ\).

б) Коллинеар векторлардың координаталарының анықтауышы нөлге тең: \(4x-(-2)(-1)=0\). Бұдан \(4x-2=0\), сондықтан \(x=\frac12\).

Жауап: а) \(\arccos\left(-\frac{2}{5\sqrt5}\right)\approx100.3^\circ\); б) \(x=\frac12\).