6. ABCD трапециясында ∠A = 90°, ∠D = 45°, AB = 12 см, BC = 5 см болса, $\overrightarrow{BD}$ және $\overrightarrow{CD}$ векторларының модульдерін, $\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DC}$ скаляр көбейтіндісін табыңдар.

Question

Вопрос: $Фото задания: 6. ABCD трапециясында ∠A = 90°, ∠D = 45°, AB = 12 см, BC = 5 см болса, $\overrightarrow{BD}$ және $\overrightarrow{CD}$…$ Фото задания

6. ABCD трапециясында ∠A = 90°, ∠D = 45°, AB = 12 см, BC = 5 см болса, $\overrightarrow{BD}$ және $\overrightarrow{CD}$ векторларының модульдерін, $\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DC}$ скаляр көбейтіндісін табыңдар.

Accepted Answer

Трапецияның қай қабырғалары параллель екені көрсетілмеген. Егер қалыпты ретпен $AB\parallel CD$ деп алсақ, есептің берілгендері өзара үйлеспейді: координаталарды $A(0;0), B(12;0), D(0;h), C(c;h)$ деп алғанда, $\angle D=45^\circ$ шарты $|c|=h$ береді. Ал $BC=5$ шарты бойынша $(12-c)^2+h^2=25$. $|c|=h$ болса, сол жақтың ең кіші мәні $72$, сондықтан ол 25-ке тең бола алмайды. Бұл жағдайда берілгендермен трапеция салынбайды.

Егер трапецияның параллель қабырғалары $AD\parallel BC$ болса, дөңес трапеция үшін координаталарды $A(0;0), B(12;0), C(12;5), D(0;17)$ деп алуға болады. Мұнда $\angle A=90^\circ$, $\angle D=45^\circ$, әрі $BC=5$.

Осы орналасуда $\overrightarrow{BD}=(-12;17)$, сондықтан $\lvert\overrightarrow{BD}\rvert=\sqrt{(-12)^2+17^2}=\sqrt{433}$ см.

$\overrightarrow{CD}=(-12;12)$, сондықтан $\lvert\overrightarrow{CD}\rvert=\sqrt{(-12)^2+12^2}=12\sqrt2$ см. Векторлардың модульдері үшін $\lvert\overrightarrow{CD}\rvert=\lvert\overrightarrow{DC}\rvert$.

$\overrightarrow{DA}=(0;-17)$, $\overrightarrow{DC}=(12;-12)$. Демек, $\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DC}=0\cdot12+(-17)(-12)=204$ см².

Жауап: егер $AD\parallel BC$ болса, $\lvert\overrightarrow{BD}\rvert=\sqrt{433}$ см, $\lvert\overrightarrow{CD}\rvert=12\sqrt2$ см, $\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DC}=204$ см². Егер $AB\parallel CD$ болса, берілгендер үйлеспейді.

Ответ: