5. а) Решите уравнение $$\cos 2x = \sin(x + \frac{\pi}{2})$$. б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[ -2\pi; -\pi]$$.

5. Решите уравнение

1. 
   

   а) Решим уравнение $$\cos 2x = \sin(x + \frac{\pi}{2})$$.

   
   

   Используем тригонометрическое тождество $$\sin(\frac{\pi}{2} + x) = \cos x$$.

   
   

   Уравнение примет вид: $$\cos 2x = \cos x$$.

   
   

   Приравниваем аргументы:

   
   

   $$2x = x + 2\pi k$$ или $$2x = -x + 2\pi k$$, где $$k \in \mathbb{Z}$$.

   
   

   Из первого уравнения: $$x = 2\pi k$$, $$k \in \mathbb{Z}$$.

   
   

   Из второго уравнения: $$3x = 2\pi k$$, $$x = \frac{2\pi k}{3}$$, $$k \in \mathbb{Z}$$.

   
   
2. 
   

   б) Найдем корни, принадлежащие промежутку $$[ -2\pi; -\pi]$$.

   
   

   Для $$x = 2\pi k$$:

   
   
   • Если $$k = -1$$, то $$x = -2\pi$$. Этот корень принадлежит промежутку.
   • Если $$k = -2$$, то $$x = -4\pi$$. Этот корень не принадлежит промежутку.
   
   

   Для $$x = \frac{2\pi k}{3}$$:

   
   
   • Если $$k = -1$$, то $$x = -\frac{2\pi}{3}$$. Этот корень не принадлежит промежутку.
   • Если $$k = -2$$, то $$x = -\frac{4\pi}{3}$$. Этот корень принадлежит промежутку.
   • Если $$k = -3$$, то $$x = -\frac{6\pi}{3} = -2\pi$$. Этот корень принадлежит промежутку.
   • Если $$k = -4$$, то $$x = -\frac{8\pi}{3}$$. Этот корень не принадлежит промежутку.

   Таким образом, корни, принадлежащие промежутку $$[ -2\pi; -\pi]$$, это $$x = -2\pi$$, $$x = -2\pi + \frac{2\pi}{3} = -\frac{4\pi}{3}$$.

   
   

Ответ: а) $$x = 2\pi k$$ или $$x = \frac{2\pi k}{3}$$, $$k \in \mathbb{Z}$$; б) $$-2\pi; -\frac{4\pi}{3}$$.