5) а) (x² − 9)/(3x² + x³); б) (x² − 8x + 16)/(16 − x²); в) (y³ + 27)/(y² − 3y + 9); г) (20 + 10a + 5a²)/(a³ − 8).

Question

Вопрос:

5) а) (x² − 9)/(3x² + x³); б) (x² − 8x + 16)/(16 − x²); в) (y³ + 27)/(y² − 3y + 9); г) (20 + 10a + 5a²)/(a³ − 8).

Accepted Answer

а) Разложим: \(x^2-9=(x-3)(x+3)\), \(3x^2+x^3=x^2(x+3)\). Сократив общий множитель, получаем \(\dfrac{x-3}{x^2}\); исходный знаменатель не равен нулю, поэтому \(x\ne0,-3\).

б) \(x^2-8x+16=(x-4)^2\), \(16-x^2=(4-x)(4+x)=-(x-4)(x+4)\). После сокращения: \(-\dfrac{x-4}{x+4}=\dfrac{4-x}{x+4}\); \(x\ne4,-4\).

в) Используем сумму кубов: \(y^3+27=(y+3)(y^2-3y+9)\). Сокращаем общий множитель: \(y+3\). Знаменатель \(y^2-3y+9\) действительных корней не имеет, поэтому ограничений на действительное \(y\) нет.

г) Вынесем 5 в числителе и разложим разность кубов в знаменателе: \(20+10a+5a^2=5(a^2+2a+4)\), \(a^3-8=(a-2)(a^2+2a+4)\). Сократив общий множитель, получаем \(\dfrac5{a-2}\), где \(a\ne2\).

Ответ: а) \(\frac{x-3}{x^2}\); б) \(\frac{4-x}{x+4}\); в) \(y+3\); г) \(\frac5{a-2}\), с указанными ограничениями.