5. AA₁ — перпендикуляр к плоскости α, AB и AC — наклонные. Найдите длину отрезка x и угол между AC и плоскостью α. По чертежу: AB = 12, ∠ABA₁ = 60°, A₁C = 6√6.

Так как AA₁ перпендикулярен плоскости α, треугольник ABA₁ прямоугольный при A₁. В нём AB = 12 — гипотенуза, а ∠ABA₁ = 60°.

1. Найдём высоту AA₁: \(AA_1=AB\sin60^\circ=12\cdot\frac{\sqrt3}{2}=6\sqrt3\).
2. В прямоугольном треугольнике AA₁C применим теорему Пифагора: \(x=AC=\sqrt{AA_1^2+A_1C^2}=\sqrt{(6\sqrt3)^2+(6\sqrt6)^2}=\sqrt{108+216}=18\).
3. Угол между наклонной AC и плоскостью α равен углу между AC и её проекцией A₁C. Поэтому \(\tan\varphi=\frac{AA_1}{A_1C}=\frac{6\sqrt3}{6\sqrt6}=\frac{1}{\sqrt2}\), то есть \(\varphi=\arctan\frac{1}{\sqrt2}\approx35.3^\circ\).

Ответ: x = 18; угол между AC и плоскостью α равен \(\arctan\frac{1}{\sqrt2}\approx35.3^\circ\).