5) AA₁ — перпендикуляр к плоскости α, AB и AC — наклонные. Найдите длины отрезков X и Y и угол между прямой AB и плоскостью α. На рисунках 1–3 приведены варианты с данными: 1) AA₁ = 5, BA₁ = 12; 2) AB = 8, угол между AB и BA₁ равен 30°; 3) AA₁ = a, угол между AB и AA₁ равен α.

В каждом рисунке проекция наклонной AB на плоскость — отрезок BA₁, а треугольник ABA₁ прямоугольный при A₁. Угол между наклонной и плоскостью равен углу между AB и её проекцией BA₁.

Рисунок 1. По рисунку AB = x, AA₁ = 5, BA₁ = 12. Применяем теорему Пифагора: \(x^2=5^2+12^2=169\), значит, \(x=13\). Угол между AB и плоскостью: \(\tan\theta=\frac{5}{12}\), поэтому \(\theta\approx22.6^\circ\). На этом рисунке отдельная неизвестная y не обозначена; длина проекции BA₁ уже дана и равна 12.

Рисунок 2. Здесь AB = 8, а угол между AB и проекцией BA₁ равен 30°. Тогда \(x=AA₁=8\sin30^\circ=4\), \(y=BA₁=8\cos30^\circ=4\sqrt{3}\). Угол между AB и плоскостью равен 30°.

Рисунок 3. Угол между AB и перпендикуляром AA₁ равен α, причём AA₁ = a. В прямоугольном треугольнике \(\cos\alpha=\frac{a}{x}\), откуда \(x=\frac{a}{\cos\alpha}\). Также \(\tan\alpha=\frac{y}{a}\), значит, \(y=a\tan\alpha\). Угол между прямой AB и плоскостью равен \(90^\circ-\alpha\).

Ответ: рисунок 1 — x = 13, BA₁ = 12, угол ≈ 22,6°; рисунок 2 — x = 4, y = 4√3, угол 30°; рисунок 3 — x = a/cos α, y = a tan α, угол 90° − α.