5. ABCD — параллелограмм. Точки E и P лежат на диагонали AC; BE ⟂ AC и DP ⟂ AC. Доказать: AP = CE.

Рассмотрим центральную симметрию параллелограмма с центром в точке пересечения диагоналей. Она переводит A в C, D в B, а диагональ AC — в себя.

Перпендикуляр из D к AC переходит в перпендикуляр из B к AC. Поэтому основание P переходит в E.

Симметрия сохраняет длины и переводит отрезок AP в отрезок CE. Следовательно, AP = CE.