5. Алюминиевую трубу надо без отходов разрезать на равные части. а) Какую наименьшую длину должна иметь труба, чтобы её можно было разрезать как на части длиной 6 м, так и на части длиной 8 м? б) На части какой наибольшей длины можно разрезать две трубы длиной 35 м и 42 м?

а) Длина трубы должна делиться и на 6, и на 8. Наименьшая подходящая длина равна наименьшему общему кратному: \(6=2\cdot3\), \(8=2^3\), поэтому \(\text{НОК}(6,8)=2^3\cdot3=24\). Проверка: \(24:6=4\), \(24:8=3\).

б) Длина каждой части должна быть общим делителем 35 м и 42 м. Наибольшая такая длина — \(\text{НОД}(35,42)\). Так как \(35=5\cdot7\), а \(42=2\cdot3\cdot7\), получаем \(\text{НОД}(35,42)=7\).

Ответ: а) 24 м; б) 7 м.