5) \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 20 \\ xy = -8 \end{cases}\)

Решение:

1. Из второго уравнения выразим \( y \): \( y = -\frac{8}{x} \).
2. Подставим это выражение в первое уравнение: \( x^2 + (-\frac{8}{x})^2 = 20 \)
3. Упростим: \( x^2 + \frac{64}{x^2} = 20 \)
4. Умножим обе части на \( x^2 \) (предполагая \( x \neq 0 \)): \( x^4 + 64 = 20x^2 \)
5. Приведем к стандартному виду биквадратного уравнения: \( x^4 - 20x^2 + 64 = 0 \)
6. Введем замену \( t = x^2 \) (при этом \( t > 0 \)): \( t^2 - 20t + 64 = 0 \)
7. Решим квадратное уравнение относительно \( t \) с помощью дискриминанта: \( D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 64 = 400 - 256 = 144 \)
8. Найдем \( t \): \( t = \frac{20 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{20 \pm 12}{2} \)
9. Получим два значения для \( t \): \( t_1 = \frac{20+12}{2} = 16 \) и \( t_2 = \frac{20-12}{2} = 4 \)
10. Найдем \( x \) из \( x^2 = t \):
    • Если \( t = 16 \), то \( x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm 4 \)
    • Если \( t = 4 \), то \( x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2 \)
11. Найдем соответствующие значения \( y \) по уравнению \( y = -\frac{8}{x} \):
    • Если \( x = 4 \), то \( y = -\frac{8}{4} = -2 \)
    • Если \( x = -4 \), то \( y = -\frac{8}{-4} = 2 \)
    • Если \( x = 2 \), то \( y = -\frac{8}{2} = -4 \)
    • Если \( x = -2 \), то \( y = -\frac{8}{-2} = 4 \)

Ответ: \( (4; -2); (-4; 2); (2; -4); (-2; 4) \).