5. * Биссектриса угла C параллелограмма ABCD пересекает сторону AD в точке M и на продолжении стороны AB за точку A в точке N. Найдите периметр параллелограмма, если AN = 4, DM = 3.

Обозначим \(AB=b\), \(AD=a\). Расположим \(A=(0,0)\), \(B=(b,0)\), \(D=(u,v)\), \(C=(b+u,v)\). Единичные направления из C вдоль CB и CD равны \((-\frac{u}{a},-\frac{v}{a})\) и \((-1,0)\); их сумма задаёт направление внутренней биссектрисы угла C.

Продолжим биссектрису до пересечения с прямой AB. Из координат направления получается, что точка N имеет координату \((b-a,0)\). Так как N лежит за A, \(AN=a-b=4\).

При пересечении биссектрисы со стороной AD получается \(AM=a-b\cdot\frac{a}{b}\) не требуется: непосредственно из параметрического уравнения биссектрисы следует, что \(DM=b\). Поэтому \(AB=b=DM=3\), а из \(a-b=4\) имеем \(AD=a=7\).

Периметр параллелограмма: \(P=2(AB+AD)=2(3+7)=20\).

Ответ: 20.