5. Биссектрисы углов А и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке, лежащей на стороне ВС. Найдите ВС, если АВ=30.

Решение:

Пусть биссектрисы углов \( \angle A \) и \( \angle D \) пересекаются в точке \( K \) на стороне \( BC \).

По свойству параллелограмма, \( AD \parallel BC \) и \( AB \parallel DC \).

Так как \( AK \) — биссектриса \( \angle A \), то \( \angle BAK = \angle KAD \).

Так как \( AD \parallel BC \), то \( \angle KAD = \angle AKB \) (как накрест лежащие углы при параллельных прямых \( AD \) и \( BC \) и секущей \( AK \)).

Следовательно, \( \angle BAK = \angle AKB \). Это означает, что треугольник \( ABK \) равнобедренный с основанием \( BK \).

Значит, \( AB = BK \).

Аналогично, так как \( DK \) — биссектриса \( \angle D \), то \( \angle ADK = \angle KDC \).

Так как \( AD \parallel BC \), то \( \angle ADK = \angle DKC \) (как накрест лежащие углы).

Следовательно, \( \angle DKC = \angle KDC \). Это означает, что треугольник \( DKC \) равнобедренный с основанием \( KC \).

Значит, \( DC = KC \).

В параллелограмме \( AB = DC \) и \( AD = BC \).

Тогда \( BK = AB \) и \( KC = DC = AB \).

Сторона \( BC = BK + KC \).

\( BC = AB + AB = 2 AB \).

Дано, что \( AB = 30 \).

\( BC = 2 \cdot 30 = 60 \).

Ответ: 60.