6. В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагонали пересекаются в точке О. Докажите, что площади треугольников АОВ и COD равны.

Доказательство:

Рассмотрим трапецию \( ABCD \) с основаниями \( AD \parallel BC \). Диагонали \( AC \) и \( BD \) пересекаются в точке \( O \).

1. Равные площади треугольников:

Рассмотрим треугольники \( △ ADC \) и \( △ ADB \). У них равные основания \( AD \) и равная высота (расстояние между параллельными прямыми \( AD \) и \( BC \)).

Следовательно, \( S_{ADC} = S_{ADB} \).

Площадь \( △ ADC = S_{AOC} + S_{COD} \).

Площадь \( △ ADB = S_{AOB} + S_{AOD} \).

Так как \( S_{ADC} = S_{ADB} \), то \( S_{AOC} + S_{COD} = S_{AOB} + S_{AOD} \).

Мы знаем, что \( S_{AOD} = S_{AOD} \) (общая площадь).

Вычитая равные площади \( S_{AOD} \) из обеих частей равенства, получаем:

\( S_{AOC} + S_{COD} - S_{AOD} = S_{AOB} + S_{AOD} - S_{AOD} \)

\( S_{COD} = S_{AOB} \).

2. Подобие треугольников:

Рассмотрим треугольники \( △ AOD \) и \( △ COB \).

Так как \( AD ∥ BC \), то \( △ AOD ∼ △ COB \) (по двум углам: \( ∠ AOD = ∠ COB \) как вертикальные, \( ∠ OAD = ∠ OCB \) как накрест лежащие при \( AD ∥ BC \) и секущей \( AC \), \( ∠ ODA = ∠ OBC \) как накрест лежащие при \( AD ∥ BC \) и секущей \( BD \)).

Вывод: Площади треугольников \( △ AOB \) и \( △ COD \) равны.