5. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что ∠DBC = 27°, ∠ABD=61° и ∠BDC=73°. Найдите углы четырёхугольника.

Решение:

Углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

• ∠ACD = ∠ABD = 61° (опираются на дугу AD).
• ∠BAC = ∠BDC = 73° (опираются на дугу BC).
• ∠CAD = ∠CBD = 27° (опираются на дугу CD).
• ∠ACB = ∠ADB (опираются на дугу AB).
• ∠ADB = 180° - 73° - 27° = 80° (сумма углов треугольника ABD).
• ∠ACB = 80°.
• ∠A = ∠BAC + ∠CAD = 73° + 27° = 100°.
• ∠B = ∠ABD + ∠DBC = 61° + 27° = 88°.
• ∠C = ∠ACB + ∠ACD = 80° + 61° = 141°.
• ∠D = ∠ADB + ∠BDC = 80° + 73° = 153°.

Проверка: Сумма углов четырехугольника = 100° + 88° + 141° + 153° = 482°. Это неверно. Пересчитаем.

Пересчет решения:

• ∠A = ∠BAC + ∠CAD = ∠BDC + ∠CBD = 73° + 27° = 100°.
• ∠C = ∠BCA + ∠ACD = ∠BDA + ∠ABD = ∠BDA + 61°.
• ∠D = ∠ADC = ∠ADB + ∠BDC = ∠ACB + 73°.
• ∠B = ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = 61° + 27° = 88°.
• ∠DBC = 27° (опирается на дугу DC).
• ∠DAC = 27°.
• ∠ABD = 61° (опирается на дугу AD).
• ∠ACD = 61°.
• ∠BDC = 73° (опирается на дугу BC).
• ∠BAC = 73°.
• ∠A = ∠BAC + ∠CAD = 73° + 27° = 100°.
• ∠C = ∠BCA + ∠ACD. ∠BCA = ∠BDA.
• ∠D = ∠BDC + ∠BDA = 73° + ∠BDA.
• ∠B = ∠ABD + ∠DBC = 61° + 27° = 88°.
• ∠A + ∠C = 180°. 100° + ∠C = 180° => ∠C = 80°.
• ∠B + ∠D = 180°. 88° + ∠D = 180° => ∠D = 92°.
• Проверка: ∠C = ∠BCA + ∠ACD. 80° = ∠BCA + 61° => ∠BCA = 19°.
• ∠D = ∠BDC + ∠BDA. 92° = 73° + ∠BDA => ∠BDA = 19°.
• ∠BCA = ∠BDA = 19°, что соответствует опоре на дугу AB.

Ответ: ∠A = 100°, ∠B = 88°, ∠C = 80°, ∠D = 92°.