6. В окружности радиуса 12 см проведён диаметр и на нём взята точка А на расстоянии 6 см от центра. Найдите радиус второй окружности, которая касается диаметра в точке А и изнутри касается данной окружности.

Решение:

• Пусть O - центр данной окружности, R - ее радиус. R = 12 см.
• Пусть O' - центр второй окружности, r - ее радиус.
• Точка А находится на расстоянии 6 см от центра O.
• Вторая окружность касается данной окружности изнутри, значит, расстояние между их центрами равно разности их радиусов: OO' = R - r.
• Вторая окружность касается диаметра в точке А. Это значит, что центр O' лежит на перпендикуляре к диаметру в точке А, и расстояние от O' до A равно r.
• Так как точка А лежит на диаметре, то O'A = r.
• Расстояние от центра O до точки A равно 6 см.
• Возможны два случая расположения центра O':
• Случай 1: O' лежит между O и A. Тогда OO' = OA - O'A = 6 - r.
• Подставляем в уравнение OO' = R - r: 6 - r = 12 - r => 6 = 12, что невозможно.
• Случай 2: A лежит между O и O'. Тогда OO' = OA + AO' = 6 + r.
• Подставляем в уравнение OO' = R - r: 6 + r = 12 - r.
• 2r = 12 - 6.
• 2r = 6.
• r = 3 см.

Ответ: Радиус второй окружности равен 3 см.