№ 5. Четырёхугольник KMNP — параллелограмм. Выразите через векторы m = KM и n = KP векторы MA и AB, где A — точка на стороне PN, такая, что PA:AN = 2:1, B — середина отрезка MN.

Положим K в начало отсчёта. Тогда \(\overrightarrow{KM}=\vec m\), \(\overrightarrow{KP}=\vec n\), а в параллелограмме \(\overrightarrow{PN}=\vec m\) и \(\overrightarrow{MN}=\vec n\).

1. Так как PA:AN = 2:1, точка A делит PN в отношении 2:1 от P, поэтому \(\overrightarrow{KA}=\vec n+\frac23\vec m\).
2. Следовательно, \(\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{KA}-\overrightarrow{KM}=\vec n-\frac13\vec m\).
3. B — середина MN, значит \(\overrightarrow{KB}=\vec m+\frac12\vec n\).
4. Тогда \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{KB}-\overrightarrow{KA}=\frac13\vec m-\frac12\vec n\).

Ответ: \(\overrightarrow{MA}=\vec n-\frac13\vec m\), \(\overrightarrow{AB}=\frac13\vec m-\frac12\vec n\).