№ 6. В трапеции ABCD ∠A = 60°, ∠D = 45°, меньшая боковая сторона равна 10 см, а меньшее основание — 8 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Пусть основания трапеции — AB и CD. Высота, опущенная из вершины A, равна произведению боковой стороны на синус угла A. Поскольку боковая сторона длиной 10 см меньше большей боковой стороны, используем её для высоты:

\(h=10\sin60^\circ=5\sqrt3\) см.

Горизонтальные проекции боковых сторон равны:

со стороны угла A: \(h\cot60^\circ=\frac{5\sqrt3}{\sqrt3}=5\) см;

со стороны угла D: \(h\cot45^\circ=5\sqrt3\) см.

Разность оснований равна сумме этих проекций: \(5+5\sqrt3\) см. Средняя линия равна полусумме оснований; если меньшее основание равно 8 см, то

\(m=8+\frac{5+5\sqrt3}{2}=\frac{21+5\sqrt3}{2}\) см.

Ответ: \(\frac{21+5\sqrt3}{2}\) см (примерно 14,83 см).