№ 4. Точка K лежит на стороне AB, а точка M — на стороне CD параллелограмма ABCD, причём AK = KB, CM:MD = 2:3. а) Выразите вектор \(\overrightarrow{KM}\) через векторы \(\vec p=\overrightarrow{AB}\) и \(\vec q=\overrightarrow{AD}\). б) Может ли при каком-нибудь значении x выполняться равенство \(\overrightarrow{KM}=x\overrightarrow{CB}\)?

а) Возьмём A за начало отсчёта. Тогда B имеет радиус-вектор \(\vec p\), D — \(\vec q\), а C — \(\vec p+\vec q\).

K — середина AB, поэтому \(\overrightarrow{AK}= frac12\vec p\).

Так как CM:MD = 2:3, точка M находится на \( frac25\) пути от C к D. Значит, \(\overrightarrow{AM}=\vec q+ frac35\vec p\).

Следовательно, \(\overrightarrow{KM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AK}=\vec q+ frac35\vec p- frac12\vec p= frac1{10}\vec p+\vec q\).

б) В параллелограмме \(\overrightarrow{CB}=-\vec q\). Вектор \(\overrightarrow{KM}\) содержит ненулевую составляющую \( frac1{10}\vec p\), поэтому он не параллелен \(\overrightarrow{CB}\). Для невырожденного параллелограмма равенство невозможно ни при каком x.

Ответ: а) \(\overrightarrow{KM}= frac1{10}\vec p+\vec q\); б) нет.