5. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, в котором AB = 6, BC = 5, AA₁ = 10. Найти угол между прямой AB и D₁E, где E — середина AC.

Введём координаты: \(A(0;0;0)\), \(B(6;0;0)\), \(C(6;5;0)\), \(D(0;5;0)\), \(D_1(0;5;10)\). Тогда середина диагонали AC — точка \(E(3;2.5;0)\).

Направляющий вектор прямой AB: \(\overrightarrow{AB}=(6;0;0)\). Для прямой D₁E возьмём вектор \(\overrightarrow{D_1E}=(3;-2.5;-10)\).

Косинус угла между прямыми равен абсолютному значению косинуса угла между их направляющими векторами:

\(\cos\varphi=\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{D_1E}|}{|\overrightarrow{AB}|\,|\overrightarrow{D_1E}|}=\frac{|18|}{6\sqrt{3^2+(-2.5)^2+(-10)^2}}=\frac{18}{6\cdot\sqrt{461}/2}=\frac{6}{\sqrt{461}}\).

Следовательно, \(\varphi=\arccos\left(\frac{6}{\sqrt{461}}\right)\approx73.8^\circ\).

Ответ: \(\arccos\left(\frac{6}{\sqrt{461}}\right)\approx73.8^\circ\).