5. Дана функция \(y=f(x)\), где \(f(x)=\begin{cases}\frac{2}{x},&-4\le x\le-1;\\2x,&-1<x\le2.\end{cases}\) а) Вычислите: \(f(-4), f(-1), f(1)\). б) Постройте график функции \(y=f(x)\). в) Опишите свойства функции \(y=f(x)\).

а) Подставим значения аргумента в соответствующие части определения:

\(f(-4)=\frac{2}{-4}=-\frac12\), \(f(-1)=\frac{2}{-1}=-2\) (точка \(-1\) входит в первый промежуток), \(f(1)=2\cdot1=2\).

б) На промежутке \([-4;-1]\) график — часть гиперболы \(y=\frac2x\), с закрашенными концами \((-4;-\frac12)\) и \((-1;-2)\). На промежутке \((-1;2]\) график — часть прямой \(y=2x\), с выколотой точкой \((-1;-2)\) и закрашенной точкой \((2;4)\).

в) Область определения — \([-4;2]\). Область значений — \([-2;4]\). Функция убывает на \([-4;-1]\) и возрастает на \((-1;2]\). Наименьшее значение \(-2\) достигается при \(x=-1\), наибольшее значение равно \(4\) при \(x=2\). Нуль функции: \(x=0\). Функция отрицательна на \([-4;0)\), положительна на \((0;2]\).