5. Дана прямоугольная трапеция ABCD (угол А = 90°), в которую вписана окружность радиусом 10 см. Сторона CD равна 28 см. Найди среднюю линию трапеции.

Дано:

• Прямоугольная трапеция ABCD, \( \angle A = 90^{\circ} \).
• В трапецию вписана окружность.
• Радиус окружности r = 10 см.
• CD = 28 см.

Найти: Среднюю линию трапеции.

Решение:

1. Свойство вписанной окружности в трапецию: В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда сумма оснований равна сумме боковых сторон.
2. Высота прямоугольной трапеции: В прямоугольной трапеции боковая сторона, перпендикулярная основаниям (AB), равна высоте. Так как в трапецию вписана окружность, ее диаметр равен высоте трапеции.
3. Высота трапеции h = AB = 2r = 2 · 10 см = 20 см.
4. Сумма оснований равна сумме боковых сторон: AB + CD = AD + BC.
5. Проведем высоту из C к основанию AD (или из D к основанию BC). Проведем высоту CH к основанию AD, где H - точка на AD. Тогда ABCH - прямоугольник, и AH = BC, CH = AB = 20 см.
6. Найдем HD: В прямоугольном треугольнике CHD, CD = 28 см, CH = 20 см. По теореме Пифагора: \( HD^2 = CD^2 - CH^2 \)
7. \( HD^2 = 28^2 - 20^2 = 784 - 400 = 384 \)
8. \( HD = \sqrt{384} = \sqrt{64 · 6} = 8·√{6} \) см.
9. Основания трапеции:
10. AD = AH + HD = BC + \( 8·√{6} \).
11. Используем свойство вписанной окружности: AB + CD = AD + BC
12. 20 + 28 = (BC + \( 8·√{6} \)) + BC
13. 48 = 2BC + \( 8·√{6} \)
14. 2BC = 48 - \( 8·√{6} \)
15. BC = 24 - \( 4·√{6} \).
16. AD = BC + \( 8·√{6} \) = (24 - \( 4·√{6} \)) + \( 8·√{6} \) = 24 + \( 4·√{6} \).
17. Средняя линия трапеции m = \( \frac{AD + BC}{2} \)
18. m = \( \frac{(24 + 4·√{6}) + (24 - 4·√{6})}{2} \)
19. m = \( \frac{48}{2} = 24 \) см.
20. Альтернативный подход:
21. Сумма оснований равна сумме боковых сторон: \( a + b = c + d \).
22. Средняя линия \( m = \frac{a+b}{2} = \frac{c+d}{2} \).
23. Высота трапеции h = 2r = 20 см.
24. AB = 20 см.
25. CD = 28 см (это одна из боковых сторон, так как трапеция прямоугольная, а CD - наклонная боковая сторона).
26. Перечитаем условие: Дана ПРЯМОУГОЛЬНАЯ трапеция ABCD (угол А = 90°), в которую вписана окружность радиусом 10 см. Сторона CD равна 28 см.
27. В прямоугольной трапеции основаниями являются AD и BC, а боковыми сторонами - AB (высота) и CD (наклонная сторона).
28. AB = 2r = 2 · 10 = 20 см.
29. CD = 28 см (боковая сторона).
30. Условие вписанной окружности: Сумма оснований равна сумме боковых сторон.
31. AD + BC = AB + CD
32. AD + BC = 20 + 28 = 48 см.
33. Средняя линия трапеции m = \( \frac{AD + BC}{2} \).
34. m = \( \frac{48}{2} = 24 \) см.

Ответ: 24 см