5. Дано: \(ABCD\) — трапеция, \(BC=a\), \(AD=b\); \(M\) и \(N\) — середины боковых сторон, \(E=AC\cap MN\), \(F=BD\cap MN\). Найти: \(EF\), \(ME\), \(FN\).

Так как \(MN\) соединяет середины боковых сторон трапеции, оно параллельно основаниям. В треугольнике \(ABC\) точка \(M\) — середина \(AB\), поэтому по теореме о средней линии \(E\) — середина \(AC\), и \(ME=\frac{BC}{2}=\frac a2\). Аналогично, в треугольнике \(BCD\) точка \(N\) — середина \(CD\), поэтому \(F\) — середина \(BD\), и \(FN=\frac{BC}{2}=\frac a2\).

Длина средней линии трапеции равна \(MN=\frac{a+b}{2}\). При расположении точек, показанном на рисунке, \(E\) находится между \(M\) и \(F\), поэтому

\(EF=MN-ME-FN=\frac{a+b}{2}-\frac a2-\frac a2=\frac{b-a}{2}\).

Ответ: \(EF=\frac{b-a}{2},\quad ME=\frac a2,\quad FN=\frac a2\).

Если основания не заданы в порядке \(b\ge a\), то длина \(EF=\frac{|b-a|}{2}\).