5. Дано: плоскости α и β параллельны; прямые a и b — скрещивающиеся, причём a пересекает α в точке A и β в точке A₁, а b — α в точке B и β в точке B₁. Доказать: прямые AB и A₁B₁ скрещиваются.

Предположим, что прямые AB и A₁B₁ лежат в одной плоскости. Эта плоскость содержит точки A, A₁, значит, содержит прямую AA₁, то есть прямую a. Она также содержит точки B, B₁, значит, содержит прямую BB₁, то есть прямую b.

Тогда прямые a и b были бы компланарны, что противоречит условию: они скрещиваются. Следовательно, AB и A₁B₁ не лежат в одной плоскости.

При этом они не пересекаются, поскольку AB лежит в плоскости α, а A₁B₁ — в параллельной ей плоскости β. Значит, прямые AB и A₁B₁ скрещиваются.

Ответ: AB и A₁B₁ — скрещивающиеся прямые.