6. Дано: параллельные плоскости α и β пересекают прямые a и b, проходящие через точку M. MA = 6, AA₁ = 3, AB = 4, MB₁ = 12. Найти: A₁B₁, MB и BB₁.

Треугольники MAB и MA₁B₁ подобны: их стороны лежат на одних и тех же лучах из M, а AB ∥ A₁B₁, поскольку плоскости α и β параллельны.

1. Найдём MA₁: MA₁ = MA + AA₁ = 6 + 3 = 9.
2. Коэффициент подобия от треугольника MAB к треугольнику MA₁B₁ равен MA₁/MA = 9/6 = 3/2. Тогда A₁B₁ = AB · 3/2 = 4 · 3/2 = 6.
3. Из подобия MB₁/MB = 3/2, поэтому MB = 12 · 2/3 = 8.
4. Точка B лежит между M и B₁, поэтому BB₁ = MB₁ − MB = 12 − 8 = 4.

Ответ: A₁B₁ = 6, MB = 8, BB₁ = 4.