5. Дано: прямые a и b — скрещивающиеся. Точки A и A₁ лежат на прямой a, точки B и B₁ — на прямой b. Доказать: прямые AB и A₁B₁ скрещивающиеся.

Предположим, что прямые AB и A₁B₁ лежат в одной плоскости. Тогда эта плоскость содержит точки A и A₁, а значит, и прямую a. Она также содержит точки B и B₁, поэтому содержит прямую b.

Получается, что прямые a и b лежат в одной плоскости, что противоречит условию: они скрещивающиеся. Следовательно, AB и A₁B₁ не являются компланарными, а значит, скрещиваются.