6. Дано: прямые a и b перпендикулярны и пересекаются в точке M. Параллельные плоскости α и β пересекают a в точках A и A₁, а b — в точках B и B₁; точки расположены в порядке M–A–A₁ и M–B–B₁. AA₁ = 3, MB₁ = 12, AB = 4. Найти: A₁B₁, MB и BB₁.

Пусть k = MA₁/MA = MB₁/MB. Равенство отношений следует из подобия треугольников MAB и MA₁B₁, поскольку α ∥ β. Так как MA₁ − MA = AA₁ = 3, получаем MA = 3/(k − 1). Также MB = 12/k.

Так как a ⟂ b, треугольник MAB прямоугольный с гипотенузой AB = 4. Поэтому

\(\left(\frac{3}{k-1}\right)^2+\left(\frac{12}{k}\right)^2=16,\quad k>1.\)

После умножения на k²(k − 1)²:

\(16k^2(k-1)^2-9k^2-144(k-1)^2=0.\)

Единственный корень при k > 1: k ≈ 3.166. Следовательно, \(MB=12/k\approx3.79\), а \(BB₁=MB₁-MB\approx12-3.79=8.21\).

По подобию \(A₁B₁=k\cdot AB\approx3.166\cdot4=12.66\).

Ответ: A₁B₁ ≈ 12.66; MB ≈ 3.79; BB₁ ≈ 8.21.