5. Деталью некоторого прибора является вращающаяся катушка. Она состоит из трёх однородных соосных цилиндров: центрального массой m = 8 кг и радиуса R = 10 см, и двух боковых с массами M = 1 кг и с радиусами R + h. При этом момент инерции катушки относительно оси вращения, выражаемый в кг · см², даётся формулой I = ((m + 2M)R²)/2 + M(2Rh + h²). При каком максимальном значении h момент инерции катушки не превышает предельного значения 625 кг · см²? Ответ выразите в сантиметрах.

Подставим данные в формулу:

\[I=\frac{(8+2\cdot1)\cdot10^2}{2}+1\cdot(2\cdot10h+h^2).\]

\[I=500+20h+h^2.\]

По условию:

\[500+20h+h^2\le625,\]

\[h^2+20h-125\le0.\]

Найдём корни соответствующего квадратного уравнения:

\[h=\frac{-20\pm\sqrt{20^2+4\cdot125}}{2}=\frac{-20\pm30}{2}.\]

Корни: \(-25\) и \(5\). Так как \(h\) — длина, \(h\ge0\), поэтому максимальное значение равно 5.

Ответ: 5 см