5) Диагональ равнобедренной трапеции делит тупой угол пополам. Вычислите длину большего основания трапеции, если известно, что периметр трапеции 54, а длины оснований относятся как 3 : 7.

Обозначим основания через \(3x\) и \(7x\). В равнобедренной трапеции горизонтальная проекция каждой боковой стороны равна половине разности оснований: \((7x-3x):2=2x\).

Пусть боковая сторона образует с большим основанием угол \(\theta\), а диагональ, делящая тупой угол пополам, — угол \(\varphi\) с продолжением этого основания. Тогда \(\theta=2\varphi\). Горизонтальные проекции боковой стороны и диагонали равны соответственно \(2x\) и \(7x-2x=5x\). Если высота трапеции равна \(h\), то \(\tan\theta=\frac{h}{2x}\), а \(\tan\varphi=\frac{h}{5x}\).

Используем формулу \(\tan(2\varphi)=\frac{2\tan\varphi}{1-\tan^2\varphi}\):

\(\frac{h}{2x}=\frac{2\cdot(h/5x)}{1-(h/5x)^2}\), откуда \(h^2=5x^2\).

Боковая сторона равна \(\sqrt{(2x)^2+h^2}=\sqrt{4x^2+5x^2}=3x\). Поэтому периметр: \(3x+7x+2\cdot3x=16x=54\), значит, \(x=27/8\).

Большее основание равно \(7x=7\cdot27/8=189/8=23.625\).

Ответ: \(\frac{189}{8}\) (23,625).