5. Доказать, что число √((13 − √101)²) − √((√101 − 11)²) рациональное.

Используем свойство \(\sqrt{u^2}=|u|\). Поскольку \(10^2<101<11^2\), имеем \(10<\sqrt{101}<11\). Поэтому \(13-\sqrt{101}>0\), а \(\sqrt{101}-11<0\).

Тогда \(\sqrt{(13-\sqrt{101})^2}=13-\sqrt{101}\), а \(\sqrt{(\sqrt{101}-11)^2}=11-\sqrt{101}\).

Следовательно, \((13-\sqrt{101})-(11-\sqrt{101})=2\). Это целое число, значит, рациональное.