№5. Докажите, что биссектрисы двух внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей пересекаются под прямым углом.

Доказательство:

Пусть даны две параллельные прямые $$a$$ и $$b$$, и секущая $$c$$. Пусть \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — внутренние односторонние углы. По условию, \( \angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ} \).

Пусть $$AM$$ — биссектриса \( \angle 1 \), а $$BN$$ — биссектриса \( \angle 2 \).

Тогда \( \angle BAM = \frac{1}{2} \angle 1 \) и \( \angle ABN = \frac{1}{2} \angle 2 \).

Рассмотрим треугольник, образованный биссектрисами $$AM$$, $$BN$$ и секущей $$c$$. Пусть точка пересечения биссектрис $$AM$$ и $$BN$$ будет $$O$$.

В треугольнике $$AOB$$ (где A и B — точки на прямой $$c$$, в которых пересекаются биссектрисы) сумма углов равна 180°: \( \angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^{\circ} \).

Мы знаем, что \( \angle OAB = \frac{1}{2} \angle 1 \) и \( \angle OBA = \frac{1}{2} \angle 2 \).

Подставим это в уравнение для суммы углов треугольника:

\[ \frac{1}{2} \angle 1 + \frac{1}{2} \angle 2 + \angle AOB = 180^{\circ} \]

Вынесем \( \frac{1}{2} \) за скобки:

\[ \frac{1}{2} (\angle 1 + \angle 2) + \angle AOB = 180^{\circ} \]

Мы знаем, что \( \angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ} \) (свойство односторонних углов при параллельных прямых).

Подставим это значение:

\[ \frac{1}{2} (180^{\circ}) + \angle AOB = 180^{\circ} \]

\[ 90^{\circ} + \angle AOB = 180^{\circ} \]

\[ \angle AOB = 180^{\circ} - 90^{\circ} \]

\[ \angle AOB = 90^{\circ} \]

Следовательно, биссектрисы двух внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей пересекаются под прямым углом.

Что и требовалось доказать.