5. Докажите, что через точку, не лежащую в данной плоскости, нельзя провести более одной прямой, перпендикулярной плоскости.

Предположим противное: через точку \(X\), не лежащую в плоскости \(\alpha\), проходят две различные прямые, перпендикулярные \(\alpha\). Обозначим их основания на плоскости через \(A\) и \(B\).

Если \(A=B\), обе прямые проходят через одни и те же две точки \(X\) и \(A\), а значит, совпадают — противоречие их различию. Если \(A\ne B\), то треугольник \(XAB\) имеет прямые углы при \(A\) и \(B\), поскольку обе прямые перпендикулярны плоскости \(\alpha\), а \(AB\) лежит в этой плоскости. В треугольнике не может быть двух прямых углов.

В обоих случаях получено противоречие. Следовательно, через точку вне плоскости проходит не более одной прямой, перпендикулярной этой плоскости.