5. Докажите, что числа 728 и 1275 взаимно простые.

Решение:

Чтобы доказать, что два числа взаимно простые, нужно показать, что их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Для этого разложим каждое число на простые множители.

Разложение числа 728:

\( 728 \div 2 = 364 \)

\( 364 \div 2 = 182 \)

\( 182 \div 2 = 91 \)

\( 91 \div 7 = 13 \)

\( 13 \div 13 = 1 \)

Таким образом, \( 728 = 2^3 \cdot 7 \cdot 13 \).

Разложение числа 1275:

\( 1275 \div 5 = 255 \)

\( 255 \div 5 = 51 \)

\( 51 \div 3 = 17 \)

\( 17 \div 17 = 1 \)

Таким образом, \( 1275 = 3 \cdot 5^2 \cdot 17 \).

Сравним простые множители чисел 728 и 1275:

Простые множители 728: \( 2, 7, 13 \).

Простые множители 1275: \( 3, 5, 17 \).

У чисел 728 и 1275 нет общих простых множителей. Следовательно, их наибольший общий делитель равен 1.

Вывод: Так как НОД(728, 1275) = 1, числа 728 и 1275 являются взаимно простыми.