5. Докажите, что для любых целых p и q выражение (3q + 7p + 2)²(q + 9p + 5)³ делится на 4.

Обозначим A = 3q + 7p + 2 и B = q + 9p + 5. Тогда A + B = 4q + 16p + 7 — нечётное число, поэтому одно из чисел A и B чётное.

1. Если A чётно, то A² делится на 4.
2. Если B чётно, то B³ делится на 8, а значит, и на 4.

В обоих случаях произведение A²B³ делится на 4.