7. Решите в целых числах уравнения: а) x² − y² = 31; б) x² − y² + 2x = 5.

а) Разложим разность квадратов: (x − y)(x + y) = 31. Поскольку 31 — простое число, пары целых множителей с произведением 31: (1, 31), (31, 1), (−1, −31), (−31, −1).

Из x − y = u и x + y = v получаем x = (u + v)/2, y = (v − u)/2. Подстановка пар даёт решения (16, 15), (16, −15), (−16, −15), (−16, 15).

б) Выделим полный квадрат: (x + 1)² − y² = 6. Тогда ((x + 1) − y)((x + 1) + y) = 6. Два множителя слева имеют одинаковую чётность, поскольку их сумма равна 2(x + 1). Но у числа 6 нет разложения на целые множители одинаковой чётности: в каждой паре множителей один чётный, а другой нечётный. Следовательно, целых решений нет.

Ответ: а) (16; 15), (16; −15), (−16; −15), (−16; 15); б) решений нет.